Determinar a função f(t) tal que integral f(t) d t=4 cosh (t)-5raiz[3]t^2+c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a função tal que, ao integrarmos em relação a , o resultado seja . Então, o conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral e derivadas, já que para encontrar a gente vai precisar ‘desfazer’ a integral, ou seja, derivar a expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se , então é a derivada de . Então, para encontrar , basta derivar a expressão .

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente. Começando com ddt [4 cosh(t)] = 4 sinh(t) :
A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar ddt [ -5 t^-23 ] = -5 ( -23 ) t^-23 - 1 = 103 t^-53 . Primeiro, reescrevemos como , então a expressão fica .
Para derivar , usamos a regra . Aplicando isso:

Resposta

Então, juntando tudo, a função f(t) = 4 sinh(t) + 103 t^53 é:

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