Encontrar a função f(x), onde uma primitiva é F(x) = ln(raiz(x^2 + 4)) - 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função sabendo que uma primitiva dela é . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao conceito de derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de , já que a primitiva de uma função é justamente uma antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é uma primitiva de , então a relação entre elas é dada pela derivada:
Então, nosso objetivo é calcular .

Passo 3

Vamos analisar a função . Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de . Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. Derivada de :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar o logaritmo.
  1. Derivada de uma constante, como -4, é zero:

Passo 5

Juntando as derivadas dos dois termos, temos:

Resposta

A função é:

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