Calcular as integrais indefinidas.
integral(8 x^2 cdot raiz[5]x^3+5 x cdot raiz[4]x^2) d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui. Temos a integral indefinida:
integral(8 x^2 cdot raiz[5]x^3 + 5 x cdot raiz[4]x^2) dx
Esse exercício está ligado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente às integrais de funções que envolvem potências e raízes. Para resolver, vamos precisar simplificar as expressões com raízes e aplicar as regras de integração de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as raízes presentes na expressão. Uma raiz enésima de raiz[n]x^k = x^kn pode ser escrita como uma potência fracionária:
Vamos aplicar isso aos termos dentro da integral.

Passo 3

Vamos simplificar cada termo da integral usando a regra das potências:
  1. Primeiro termo:
8 x^2 cdot raiz[5]x^3 = 8 x^2 cdot x^35
Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:
8 x^2 + 35 = 8 x^135
  1. Segundo termo:
5 x cdot raiz[4]x^2 = 5 x cdot x^24 = 5 x cdot x^12
Soma dos expoentes:
5 x^1 + 12 = 5 x^32
Agora, a integral fica mais simples:
integral (8 x^135 + 5 x^32) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência para integrais:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
  1. Integrando o primeiro termo:
integral 8 x^135 dx = 8 cdot x^135 + 1135 + 1
Calculando os expoentes:
135 + 1 = 185
Então:
8 cdot x^185185 = 8 cdot 518 x^185 = 4018 x^185 = 209 x^185
  1. Integrando o segundo termo:
integral 5 x^32 dx = 5 cdot x^32 + 132 + 1
Calculando os expoentes:
32 + 1 = 52
Então:
5 cdot x^5252 = 5 cdot 25 x^52 = 2 x^52

Resposta

A integral indefinida é:
209 x^185 + 2 x^52 + C

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