Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por substituição trigonométrica:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de . Esse tipo de integral geralmente resolve com um método chamado substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões com raízes quadradas envolvendo quadrados de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que temos , o que se assemelha a . Nesse caso, escolhemos e fazemos a substituição:
Isso nos ajuda a transformar a raiz em uma expressão trigonométrica mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, derivamos em relação a para achar :
Também substituímos usando a substituição feita:

Passo 4

Substituímos tudo de volta na integral original:
Simplificando os termos:
E como , temos:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que , então:
E já que $\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^{2}(\theta)} = \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x}
\frac{1}{5} \sin(\theta) = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} = \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{5x}
$$

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcular as integrais usando o método da substituição:
Encontrar uma primitiva da função que se anule no ponto .
Resolva a integral , através do método de integração por partes.
Sabendo que a função satisfaz a igualdade
determinar .