Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por substituição trigonométrica:
integral d xx^2 raizx^2-5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de 1x^2 raizx^2-5 , dx. Esse tipo de integral geralmente resolve com um método chamado substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões com raízes quadradas envolvendo quadrados de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que temos raizx^2 - 5, o que se assemelha a raizx^2 - a^2. Nesse caso, escolhemos a = raiz5 e fazemos a substituição:
x = raiz5 sec(theta)
Isso nos ajuda a transformar a raiz em uma expressão trigonométrica mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, derivamos x em relação a theta para achar dx:
dx = raiz5 sec(theta) tan(theta) , dtheta
Também substituímos raizx^2 - 5 usando a substituição feita:
raizx^2 - 5 = raiz5 tan(theta)

Passo 4

Substituímos tudo de volta na integral original:
integral 1x^2 raizx^2-5 , dx = integral 15 sec^2(theta) cdot raiz5 tan(theta) cdot raiz5 sec(theta) tan(theta) , dtheta
Simplificando os termos:
integral 15 sec^2(theta) cdot raiz5 tan(theta) cdot raiz5 sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 15 sec(theta) , dtheta
E como sec(theta) = 1cos(theta), temos:
15 integral cos(theta) , dtheta = 15 sin(theta) + C

Passo 5

Agora, voltamos à variável original x. Sabemos que x = raiz5 sec(theta), então:
cos(theta) = raiz5x
E já que $\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^{2}(\theta)} = \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x}
sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta) = raiz1 - 5x^2 = raizx^2 - 5x
\frac{1}{5} \sin(\theta) = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} = \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{5x}
$$

Resposta

A integral é igual a raizx^2 - 55x + C, onde C é a constante de integração.

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