Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de
. Esse tipo de integral geralmente resolve com um método chamado substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões com raízes quadradas envolvendo quadrados de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que temos
, o que se assemelha a
. Nesse caso, escolhemos
e fazemos a substituição:
Isso nos ajuda a transformar a raiz em uma expressão trigonométrica mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
para achar
:
Também substituímos
usando a substituição feita:
Passo 4
Substituímos tudo de volta na integral original:
Simplificando os termos:
E como
, temos:
Passo 5
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que
, então:
E já que $\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^{2}(\theta)} = \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x}
\frac{1}{5} \sin(\theta) = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} = \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{5x}
$$
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais usando o método da substituição:
Encontrar uma primitiva da função
que se anule no ponto
.
Resolva a integral
, através do método de integração por partes.
Sabendo que a função
satisfaz a igualdade
determinar
.