Resolva a integral integral x^2 sen(2 x) d x, através do método de integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar lembrar a fórmula da integração por partes e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, escolhendo corretamente e é fundamental para simplificar a integral.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos escolher:
  • v = integral sen(2x) , dx = -12 cos(2x) (porque ao derivar, reduzimos o grau do polinômio)
Agora, precisamos encontrar e :
  • (derivando )
  • Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
integral x^2 sen(2x) , dx = u , v - integral v , du = x^2 (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) (2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à expressão anterior, substituímos a integral resolvida:
Simplificando tudo:

Resposta

A integral é igual a:
onde -12 x^2 cos(2x) + 12 x sen(2x) - 14 cos(2x) + C é a constante de integração.

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