Calcular a integral indefinida usando a substituição trigonométrica indicada. Escreva o resultado na variável original x .
integral d xx^2 raizx^2-1, x=sec theta, 0 <= theta0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando substituição trigonométrica. A gente vai trabalhar com funções trigonométricas porque a integral tem uma expressão que envolve . Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e como fazer a substituição de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada no enunciado: dx = sec theta tan theta , dtheta . Quando fazemos isso, precisamos também substituir em termos de .
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, substituímos integral dxx^2 raizx^2 - 1 = integral sec theta tan theta , dthetasec^2 theta raizsec^2 theta - 1 e raizsec^2 theta - 1 = tan theta na integral original:
integral sec theta tan theta , dthetasec^2 theta tan theta = integral sec thetasec^2 theta , dtheta = integral cos theta , dtheta
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que , então:
Substituindo isso na integral:

Passo 4

A integral ficou bem mais simples agora:
integral cos theta , dtheta = sin theta + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora precisamos voltar para a variável original sin theta = raiz1 - 1x^2 = raizx^2 - 1x . Lembrando que fizemos , o que significa que . Também sabemos que e , então:

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral dxx^2 raizx^2 - 1 = raizx^2 - 1x + C

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