Calcular a integral indefinida usando a substituição trigonométrica indicada. Escreva o resultado na variável original x .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando substituição trigonométrica. A gente vai trabalhar com funções trigonométricas porque a integral tem uma expressão que envolve
. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e como fazer a substituição de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada no enunciado:
. Quando fazemos isso, precisamos também substituir
em termos de
.
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que
, então:
Substituindo isso na integral:
Passo 4
A integral ficou bem mais simples agora:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, o que significa que . Também sabemos que
e
, então:
Resposta
Portanto, a integral indefinida é: