Calcular as integrais: integral 12 x^2+2 x-20x^3-4 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais de funções racionais, utilizando a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) . Podemos fatorar esse polinômio retirando o fator comum :

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 12x^2 + 2x - 20x(x - 2)(x + 2) = Ax + Bx - 2 + Cx + 2 como a soma de frações parciais. Assumimos que:

Passo 4

Para encontrar os valores de 12x^2 + 2x - 20 = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2) , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Vamos expandir os termos do lado direito:
A(x - 2)(x + 2) = A(x^2 - 4)
Bx(x + 2) = Bx^2 + 2Bx
Cx(x - 2) = Cx^2 - 2Cx
Portanto:
12x^2 + 2x - 20 = A x^2 - 4A + B x^2 + 2B x + C x^2 - 2C x

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
12x^2 + 2x - 20 = (A + B + C) x^2 + (2B - 2C) x - 4A

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
A + B + C = 12 2B - 2C = 2 -4A = -20

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da terceira equação: B + C = 7 B - C = 1
  2. Substituindo 2B = 8 Rightarrow B = 4 na primeira equação: 4 - C = 1 Rightarrow C = 3
  3. Da segunda equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :

Passo 9

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
12x^2 + 2x - 20x(x - 2)(x + 2) = 5x + 4x - 2 + 3x + 2

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 5x , dx + integral 4x - 2 , dx + integral 3x + 2 , dx
Integrando cada termo:
5 ln|x| + 4 ln|x - 2| + 3 ln|x + 2| + C

Resposta

integral 12x^2 + 2x - 20x^3 - 4x , dx = 5 ln|x| + 4 ln|x - 2| + 3 ln|x + 2| + C

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