Calcular as integrais:

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais de funções racionais, utilizando a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar esse polinômio retirando o fator comum :

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como a soma de frações parciais. Assumimos que:

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Vamos expandir os termos do lado direito:
Portanto:

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Da segunda equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :

Passo 9

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo:

Resposta

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