Calcular as integrais:
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais de funções racionais, utilizando a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar esse polinômio retirando o fator comum
:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
como a soma de frações parciais. Assumimos que:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 5
Vamos expandir os termos do lado direito:
Portanto:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
- Da terceira equação:
- Substituindo
na primeira equação: - Da segunda equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação
:
Passo 9
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 10
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo:
Resposta
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e
gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante.
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. Esboce tal curva equipotencial no plano
.