Calcular as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
. Nosso conteúdo envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir
. Isso significa que
, ou seja,
. Essa substituição vai transformar nossa integral em termos de
, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 3
Substituindo
na integral, temos:
Agora, a integral está em termos de
, e podemos focar em resolver
.
Passo 4
A integral
é uma integral padrão que resulta em uma combinação de termos envolvendo arcos senoidais e produtos de
com a raiz quadrada. A fórmula para essa integral é:
No nosso caso,
, então substituindo na fórmula:
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
, substituímos na expressão obtida:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais:
A região delimitada pelo eixo y e pelos gráficos de
e
gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante.
O potencial elétrico no ponto
é dado por
An volts. Encontre a curva equipotencial que passa pelo ponto
. Esboce tal curva equipotencial no plano
.
Se
e
, quanto vale
?