Calcular as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de . Nosso conteúdo envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Isso significa que , ou seja, . Essa substituição vai transformar nossa integral em termos de , tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Agora, a integral está em termos de , e podemos focar em resolver .

Passo 4

A integral é uma integral padrão que resulta em uma combinação de termos envolvendo arcos senoidais e produtos de com a raiz quadrada. A fórmula para essa integral é:
No nosso caso, , então substituindo na fórmula:

Passo 5

Voltando à variável original , lembrando que , substituímos na expressão obtida:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

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Se e , quanto vale ?