Calcular as integrais: integral x raiz4-x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de . Nosso conteúdo envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Isso significa que , ou seja, . Essa substituição vai transformar nossa integral em termos de , tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Substituindo integral x raiz4 - x^4 , dx = integral raiz4 - (x^2)^2 cdot x , dx = integral raiz4 - u^2 cdot du2 = 12 integral raiz4 - u^2 , du na integral, temos:
Agora, a integral está em termos de , e podemos focar em resolver .

Passo 4

A integral integral raiza^2 - u^2 , du = u2 raiza^2 - u^2 + a^22 arcsin( ua ) + C é uma integral padrão que resulta em uma combinação de termos envolvendo arcos senoidais e produtos de integral raiz4 - u^2 , du = u2 raiz4 - u^2 + 2 arcsin( u2 ) + C com a raiz quadrada. A fórmula para essa integral é:
No nosso caso, , então substituindo na fórmula:

Passo 5

Voltando à variável original 12 ( x^22 raiz4 - x^4 + 2 arcsin( x^22 ) ) + C , lembrando que x^24 raiz4 - x^4 + 12 arcsin( x^22 ) + C , substituímos na expressão obtida:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral de x^24 raiz4 - x^4 + 12 arcsin( x^22 ) + C é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados