A região delimitada pelo eixo y e pelos gráficos de
e
gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos pede para encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região ao redor do eixo y. Essa região é delimitada pelo eixo y, pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Vamos identificar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo y, é mais fácil integrar em relação a y. Temos que a região está entre
e
. Precisamos expressar
em termos de
para facilitar a integração. A partir da equação
, isolamos
:
Passo 3
Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume
quando giramos ao redor do eixo y é:
onde
é a função que representa o raio do disco em cada ponto y. Neste caso,
.
Passo 4
Substituímos
na fórmula e definimos os limites de integração de 1 a 8:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando um valor definido.
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de 1 a 8:
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
O volume do sólido resultante é
.