A região delimitada pelo eixo y e pelos gráficos de e gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos pede para encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região ao redor do eixo y. Essa região é delimitada pelo eixo y, pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Vamos identificar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo y, é mais fácil integrar em relação a y. Temos que a região está entre e . Precisamos expressar em termos de para facilitar a integração. A partir da equação , isolamos :

Passo 3

Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume quando giramos ao redor do eixo y é:
onde é a função que representa o raio do disco em cada ponto y. Neste caso, .

Passo 4

Substituímos na fórmula e definimos os limites de integração de 1 a 8:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando um valor definido.

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de 1 a 8:
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

O volume do sólido resultante é .

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Encontre a área da região limitada pela parábola e pela reta
Calcular as integrais:
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