À 1 h o navio A está a 25 milhas ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à razão de 16 milhas/h e o navio B está navegando para o sul à razão de 20 milhas/h, determine a razão na qual varia a distância entre os navios à 1 h 30 min .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois navios, A e B, que estão se movendo em direções diferentes com certas velocidades. Queremos descobrir como a distância entre eles está mudando após 1 hora e 30 minutos. Para resolver isso, vamos usar o cálculo relacionado a taxas de variação e um pouco de geometria para entender como as posições dos navios mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as posições iniciais dos navios. À 1 hora (t = 1 h), o navio A está 25 milhas ao sul do navio B. Vamos considerar que o navio B está na origem do nosso sistema de coordenadas (posição (0,0)) no instante t = 1 h. Assim, o navio A está na posição (0, -25) milhas.

Passo 3

Agora, vamos ver para onde cada navio está indo. O navio A está navegando para o oeste a 16 milhas por hora, o que significa que sua posição no eixo x está diminuindo com a velocidade de 16 milhas/h. Já o navio B está navegando para o sul a 20 milhas por hora, então sua posição no eixo y está diminuindo com a velocidade de 20 milhas/h.

Passo 4

Vamos definir o tempo que passa após as 1 hora como Δt. Como queremos saber a taxa de variação da distância após 1 hora e 30 minutos, Δt = 0,5 horas. Portanto, o tempo total desde o início é t = 1 + 0,5 = 1,5 horas.

Passo 5

Vamos calcular as posições dos navios após 1,5 horas:
  • Navio A:
    • Posição inicial: (0, -25)
    • Movendo-se para o oeste a 16 milhas/h, então a mudança na posição x é: Δx_A = -16 * 0,5 = -8 milhas
    • Nova posição: (0 - 8, -25) = (-8, -25)
  • Navio B:
    • Posição inicial: (0, 0)
    • Movendo-se para o sul a 20 milhas/h, então a mudança na posição y é: Δy_B = -20 * 0,5 = -10 milhas
    • Nova posição: (0, 0 - 10) = (0, -10)

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois navios após 1,5 horas. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Substituindo as posições:

Passo 7

Finalmente, queremos saber a taxa na qual essa distância está mudando, ou seja, a derivada da distância em relação ao tempo ( ). Como as direções dos navios são perpendiculares, usamos o Teorema de Pitágoras e diferenciamos em relação ao tempo:
Simplificando e substituindo os valores:

Resposta

A taxa na qual a distância entre os navios está variando após 1 hora e 30 minutos é de aproximadamente 25,18 milhas por hora.

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