Calcular as integrais : integral(18x^2+9+tg xsec x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de uma função que é a soma de dois termos: 18x^2+9 e tg xsec x. Isso envolve conhecimento de integrais básicas e algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar saber como integrar funções racionais e entender um pouco sobre as funções trigonométricas como tangente e secante.

Passo 2

Vamos começar separando a integral em duas partes, assim fica mais fácil de resolver cada uma individualmente:
integral (18x^2+9 + tg xsec x) dx = integral 18x^2+9 dx + integral tg xsec x dx

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a integral integral 18x^2+9 dx. Sabemos que a integral de 1x^2+a^2 é 1a tan^-1(xa) + C. Aqui, a^2 = 9, então a = 3.

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa integral:
integral 18x^2+9 dx = 18 cdot 13 tan^-1(x3) + C = 6 tan^-1(x3) + C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: integral tg xsec x dx. Primeiro, lembrando que tg x é a tangente de x e sec x é a secante de x. Sabemos que tg x = sin xcos x e sec x = 1cos x.

Passo 6

Substituindo essas identidades na integral:
tg xsec x = sin xcos x1cos x = sin x
Então, a integral fica:
integral sin x , dx

Passo 7

A integral de sin x é - cos x + C. Portanto:
integral sin x , dx = -cos x + C

Resposta

Somando as duas integrais que calculamos:
integral(18x^2+9+tg xsec x) dx = 6 tan^-1(x3) - cos x + C

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