Calcular as integrais : integral raiz[3]x(x^2+8x+raiz[3]x^2) d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de raiz[3]x(x^2+8x+raiz[3]x^2) dx. Isso envolve conceitos de potências e integração de funções polinomiais. Vamos precisar manipular os expoentes e aplicar regras de integração básicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as raízes em notação de expoente fracionário para facilitar os cálculos. Sabemos que:
raiz[3]x = x^1/3 e raiz[3]x^2 = x^2/3
Substituindo na integral, temos:
integral x^1/3 (x^2 + 8x + x^2/3) dx

Passo 3

Agora, vamos distribuir x^1/3 dentro dos parênteses, multiplicando cada termo:
x^1/3 cdot x^2 = x^7/3 x^1/3 cdot 8x = 8x^-2/3 x^1/3 cdot x^2/3 = x^1
Então, a integral fica:
integral (x^7/3 + 8x^-2/3 + x) dx

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de x^n é dada por:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando essa regra a cada termo:
  1. Para x^7/3:
integral x^7/3 dx = x^10/310/3 = 310x^10/3
  1. Para 8x^-2/3:
integral 8x^-2/3 dx = 8 cdot x^1/31/3 = 24x^1/3
  1. Para x:
integral x dx = x^22

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais encontradas:
310x^10/3 + 24x^1/3 + x^22 + C

Resposta

A integral é igual a 310x^10/3 + 24x^1/3 + x^22 + C, onde C é a constante de integração.

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