Calcular as integrais : integral(5 x^2-3 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral(5 x^2-3 x)^2 dx. O conteúdo envolve cálculo de integrais e álgebra para expandir a expressão. Vamos precisar expandir o polinômio antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o polinômio (5x^2 - 3x)^2. Usamos a fórmula do quadrado da soma: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
(5x^2 - 3x)^2 = (5x^2)^2 - 2 cdot 5x^2 cdot 3x + (3x)^2
Calculando cada termo:
(5x^2)^2 = 25x^4
-2 cdot 5x^2 cdot 3x = -30x^3
(3x)^2 = 9x^2
Então, a expressão expandida fica:
25x^4 - 30x^3 + 9x^2

Passo 4

Agora, substituímos a expressão expandida na integral:
integral(5 x^2-3 x)^2 dx = integral (25x^4 - 30x^3 + 9x^2) dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo. Para integrar x^n, usamos a regra:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra de integração a cada termo:
integral 25x^4 dx = 25 cdot x^55 = 5x^5
integral -30x^3 dx = -30 cdot x^44 = -7,5x^4
integral 9x^2 dx = 9 cdot x^33 = 3x^3

Passo 7

Juntando tudo e adicionando a constante de integração C:
5x^5 - 7,5x^4 + 3x^3 + C

Resposta

A integral é igual a 5x^5 - 7,5x^4 + 3x^3 + C.

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