Calcular as integrais : integral(x-4) raiz2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que facilita a integração quando identificamos uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão u = 2 + x , podemos deixá-la ser a nossa nova variável. Então, vamos definir:
du = dx
Isso significa que:
x = u - 2
E também, podemos resolver para :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral (x - 4) raiz2 + x , dx = integral ( (u - 2) - 4 ) raizu , du e (u - 2 - 4) = u - 6 na integral original com as expressões em termos de integral (u - 6) raizu , du :
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos reescrever integral (u - 6) u^1/2 , du = integral ( u cdot u^1/2 - 6 cdot u^1/2 ) , du como u^1 + 1/2 = u^3/2 e 6 cdot u^1/2 = 6u^1/2 para facilitar a multiplicação:
integral u^3/2 , du - 6 integral u^1/2 , du
Multiplicando as potências de :
Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais, que diz que integral u^3/2 , du = u^5/25/2 = 25 u^5/2 , onde 6 integral u^1/2 , du = 6 cdot u^3/23/2 = 6 cdot 23 u^3/2 = 4 u^3/2 é a constante de integração.
Integrando :
Integrando :

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
25 u^5/2 - 4 u^3/2 + C
Agora, vamos substituir 25 (2 + x)^5/2 - 4 (2 + x)^3/2 + C de volta para :

Resposta

A integral 25 (2 + x)^5/2 - 4 (2 + x)^3/2 + C é igual a:

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