Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que facilita a integração quando identificamos uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão , podemos deixá-la ser a nossa nova variável. Então, vamos definir:
Isso significa que:
E também, podemos resolver para :

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original com as expressões em termos de :
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos reescrever como para facilitar a multiplicação:
Multiplicando as potências de :
Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais, que diz que , onde é a constante de integração.
Integrando :
Integrando :

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
Agora, vamos substituir de volta para :

Resposta

A integral é igual a:

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Faça os gráficos das funções abaixo e determine o seu período.
dada por .
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