Calcular as integrais :

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral:
Aqui, estamos trabalhando com uma integração envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Mas como temos na integral, podemos reescrever . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. Note que:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para integrar, vamos usar frações parciais. Vamos assumir que a expressão pode ser decomposta da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:

Passo 7

Agora que temos , , e , podemos escrever a integral original como:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. :
    • Substituindo , temos .
    • Logo,

Passo 9

Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta para a variável original:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Calcular as integrais :
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e)
-Derive as funções abaixo :
d)