Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral:
Aqui, estamos trabalhando com uma integração envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Mas como temos na integral, podemos reescrever . Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador. Note que:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para integrar, vamos usar frações parciais. Vamos assumir que a expressão pode ser decomposta da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .
Passo 5
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
A = 189 = 2 B = 639 = 7 C = -8 - A = -8 - 2 = -10 D = 13 - B = 13 - 7 = 6
Passo 7
Agora que temos integral ( 2t + 7t^2 + -10 t + 6t^2 + 9 ) dt , , e , podemos escrever a integral original como:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
:
Substituindo , temos .
Logo,
Passo 9
Juntando todas as integrais, temos:
2 ln |t| - 7t - 5 ln |t^2 + 9| + 2 arctan(t3) + C
Onde é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, substituímos 2 ln (ln x) - 7ln x - 5 ln ( (ln x)^2 + 9 ) + 2 arctan(ln x3) + C de volta para a variável original: