Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral:
Aqui, estamos trabalhando com uma integração envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Mas como temos na integral, podemos reescrever . Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador. Note que:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para integrar, vamos usar frações parciais. Vamos assumir que a expressão pode ser decomposta da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .
Passo 5
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Passo 7
Agora que temos , , e , podemos escrever a integral original como:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
:
Substituindo , temos .
Logo,
Passo 9
Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, substituímos de volta para a variável original: