Calcular as integrais : integral -8(ln x)^3+13(ln x)^2+18 ln x+63x((ln x)^4+9(ln x)^2) d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral:
integral -8(ln x)^3 + 13(ln x)^2 + 18 ln x + 63x((ln x)^4 + 9(ln x)^2) , dx
Aqui, estamos trabalhando com uma integração envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar dtdx = 1x Rightarrow dx = x , dt . Então, a derivada de integral -8 t^3 + 13 t^2 + 18 t + 63t^4 + 9 t^2 , dt em relação a é:
Mas como temos na integral, podemos reescrever . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. Note que:
t^4 + 9 t^2 = t^2(t^2 + 9)
Então, a integral fica:
integral -8 t^3 + 13 t^2 + 18 t + 63t^2(t^2 + 9) , dt

Passo 4

Para integrar, vamos usar frações parciais. Vamos assumir que a expressão pode ser decomposta da seguinte forma:
-8 t^3 + 13 t^2 + 18 t + 63t^2(t^2 + 9) = At + Bt^2 + Ct + Dt^2 + 9
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum -8 t^3 + 13 t^2 + 18 t + 63 = A t (t^2 + 9) + B (t^2 + 9) + (Ct + D) t^2 , temos:
-8 t^3 + 13 t^2 + 18 t + 63 = A t^3 + 9A t + B t^2 + 9B + C t^3 + D t^2
Expandindo:
-8 t^3 + 13 t^2 + 18 t + 63 = (A + C) t^3 + (B + D) t^2 + 9A t + 9B
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + C = -8 B + D = 13 9A = 18 9B = 63
Resolvendo o sistema:
A = 189 = 2 B = 639 = 7 C = -8 - A = -8 - 2 = -10 D = 13 - B = 13 - 7 = 6

Passo 7

Agora que temos integral ( 2t + 7t^2 + -10 t + 6t^2 + 9 ) dt , , e , podemos escrever a integral original como:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. :
    • Substituindo , temos .
    • Logo,

Passo 9

Juntando todas as integrais, temos:
2 ln |t| - 7t - 5 ln |t^2 + 9| + 2 arctan(t3) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos 2 ln (ln x) - 7ln x - 5 ln ( (ln x)^2 + 9 ) + 2 arctan(ln x3) + C de volta para a variável original:

Resposta

A integral é igual a:
2 ln (ln x) - 7ln x - 5 ln ( (ln x)^2 + 9 ) + 2 arctan(ln x3) + C
Onde é a constante de integração.

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