Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse tipo de integral envolve uma fração polinomial, então a gente vai usar a divisão de polinômios e frações parciais para resolver. Precisamos entender um pouco de álgebra polinomial e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O grau do numerador é 4 (por causa de ) e o do denominador é 3 (por causa de ). Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos dividir por .
Dividindo por , temos . Multiplicamos pelo denominador: . Subtraindo isso do numerador:
Agora dividimos por , que dá . Multiplicando pelo denominador: . Subtraindo novamente:
Então, a fração original fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a parte que sobra: . Podemos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Para integrar isso, vamos usar frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e igualando os coeficientes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Então, a fração parcial fica:

Passo 5

Agora, reunindo tudo, a integral original fica:
Vamos integrar cada termo:

Resposta

Juntando todos os resultados, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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