Calcular as integrais : integral x^4+2 x^2+1x^3-5 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral x^4+2 x^2+1x^3-5 x^2 , dx. Esse tipo de integral envolve uma fração polinomial, então a gente vai usar a divisão de polinômios e frações parciais para resolver. Precisamos entender um pouco de álgebra polinomial e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O grau do numerador é 4 (por causa de x^4) e o do denominador é 3 (por causa de x^3). Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos dividir x^4 + 2x^2 + 1 por x^3 - 5x^2.
Dividindo x^4 por x^3, temos x. Multiplicamos x pelo denominador: x cdot (x^3 - 5x^2) = x^4 - 5x^3. Subtraindo isso do numerador:
(x^4 + 0x^3 + 2x^2 + 0x + 1) - (x^4 - 5x^3) = 5x^3 + 2x^2 + 1
Agora dividimos 5x^3 por x^3, que dá 5. Multiplicando 5 pelo denominador: 5 cdot (x^3 - 5x^2) = 5x^3 - 25x^2. Subtraindo novamente:
(5x^3 + 2x^2 + 1) - (5x^3 - 25x^2) = 27x^2 + 1
Então, a fração original fica:
x^4 + 2x^2 + 1x^3 - 5x^2 = x + 5 + 27x^2 + 1x^3 - 5x^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a parte que sobra: 27x^2 + 1x^3 - 5x^2. Podemos fatorar o denominador:
x^3 - 5x^2 = x^2(x - 5)
Então, a fração fica:
27x^2 + 1x^2(x - 5)
Para integrar isso, vamos usar frações parciais. Assumimos que:
27x^2 + 1x^2(x - 5) = Ax + Bx^2 + Cx - 5
Multiplicando ambos os lados por x^2(x - 5):
27x^2 + 1 = A x(x - 5) + B(x - 5) + Cx^2
Expandindo e igualando os coeficientes:
(A + C)x^2 + (-5A + B)x - 5B = 27x^2 + 0x + 1
Isso nos dá o sistema de equações:
A + C = 27 -5A + B = 0 -5B = 1
Resolvendo:
B = -15, A = -125, C = 67625
Então, a fração parcial fica:
27x^2 + 1x^2(x - 5) = -125x - 15x^2 + 67625(x - 5)

Passo 5

Agora, reunindo tudo, a integral original fica:
integral x^4+2 x^2+1x^3-5 x^2 , dx = integral (x + 5) , dx - 125 integral 1x , dx - 15 integral 1x^2 , dx + 67625 integral 1x - 5 , dx
Vamos integrar cada termo:
integral x , dx = x^22
integral 5 , dx = 5x
integral 1x , dx = ln|x|
integral 1x^2 , dx = -1x
integral 1x - 5 , dx = ln|x - 5|

Resposta

Juntando todos os resultados, a integral é:
x^22 + 5x - 125 ln|x| + 15x + 67625 ln|x - 5| + C
Onde C é a constante de integração.

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