Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da expressão que se encaixam nas fórmulas desse método.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Olhando para a nossa integral, uma boa escolha é:
  • Escolha de : Vamos deixar o termo que se simplifica ao derivar. Então, .
  • Escolha de : O que sobrou será .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule a integral tripla: ; onde é o tetraedro com vértices ; e .
Calcule os limites a seguir, justificando.
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