Calcular as integrais : integral(50 x^4+4 x) ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(50 x^4+4 x) ln x , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da expressão que se encaixam nas fórmulas desse método.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Olhando para a nossa integral, uma boa escolha é:
  • Escolha de : Vamos deixar o termo que se simplifica ao derivar. Então, .
  • Escolha de : O que sobrou será .

Passo 3

Agora, vamos calcular u = ln x du = 1x , dx e dv = (50x^4 + 4x) , dx v = integral (50x^4 + 4x) , dx v = 10x^5 + 2x^2 :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (50x^4 + 4x) ln x , dx = ln x cdot (10x^5 + 2x^2) - integral (10x^5 + 2x^2) cdot 1x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
integral (10x^5 + 2x^2) cdot 1x , dx = integral (10x^4 + 2x) , dx = integral 10x^4 , dx + integral 2x , dx = 2x^5 + x^2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
integral(50 x^4+4 x) ln x , dx = (10x^5 + 2x^2) ln x - 2x^5 - x^2 + C
Onde é a constante de integração.

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