Calcule a integral tripla: integral triplaV x y d V; onde V é o tetraedro com vértices (0 ; 0 ; 0) ;(1 ; 0 ; 0); (0 ; 2 ; 0) e (0 ; 0 ; 3).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla integral triplaV x y , dV, onde V é um tetraedro com vértices em (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3). Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral, mais especificamente ao cálculo de integrais múltiplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para o tetraedro e, em seguida, executar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro no espaço tridimensional. Os vértices estão nos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3). Isso significa que o tetraedro está limitado pelos planos formados por esses pontos.

Passo 3

Para definir os limites de integração, vamos expressar as coordenadas x, y e z em termos de cada uma delas. Observando os vértices, vemos que x varia de 0 a 1, y varia de 0 a uma função linear de x, e z varia de 0 a uma outra função linear de x e y.

Passo 4

Determinar as funções que limitam y e z. Como os vértices em y e z são (0, 2, 0) e (0, 0, 3) respectivamente, podemos estabelecer que:
  • Para cada valor de x, y varia de 0 até 2(1 - x).
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 até 3(1 - x).

Passo 5

Agora, podemos expressar a integral tripla com os limites definidos:
integral0^1 integral0^2(1 - x) integral0^3(1 - x) x y , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a z:
integral0^3(1 - x) x y , dz = x y cdot z |0^3(1 - x) = x y cdot 3(1 - x)
Simplificando:
3 x y (1 - x)

Passo 7

Agora, integramos em relação a y:
integral0^2(1 - x) 3 x y (1 - x) , dy = 3 x (1 - x) cdot y^22 |0^2(1 - x) = 3 x (1 - x) cdot [2(1 - x)]^22
Simplificando:
3 x (1 - x) cdot 4(1 - x)^22 = 6 x (1 - x)^3

Passo 8

Por fim, integramos em relação a x:
integral0^1 6 x (1 - x)^3 , dx
Vamos expandir (1 - x)^3:
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
Multiplicando por 6x:
6x - 18x^2 + 18x^3 - 6x^4
Agora, integramos termo a termo:
6 cdot x^22 - 18 cdot x^33 + 18 cdot x^44 - 6 cdot x^55 |0^1
Simplificando:
3x^2 - 6x^3 + 92x^4 - 65x^5 |0^1
Substituindo x = 1:
3 - 6 + 92 - 65 = (3 - 6) + (92 - 65) = -3 + 3310 = -3010 + 3310 = 310

Resposta

O valor da integral tripla é 310.

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