Calcule a integral tripla: ; onde é o tetraedro com vértices ; e .
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral tripla , onde é um tetraedro com vértices em , , e . Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral, mais especificamente ao cálculo de integrais múltiplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para o tetraedro e, em seguida, executar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro no espaço tridimensional. Os vértices estão nos pontos , , e . Isso significa que o tetraedro está limitado pelos planos formados por esses pontos.
Passo 3
Para definir os limites de integração, vamos expressar as coordenadas , e em termos de cada uma delas. Observando os vértices, vemos que varia de a , varia de a uma função linear de , e varia de a uma outra função linear de e .
Passo 4
Determinar as funções que limitam e . Como os vértices em e são e respectivamente, podemos estabelecer que:
Para cada valor de , varia de até .
Para cada par , varia de até .
Passo 5
Agora, podemos expressar a integral tripla com os limites definidos: