Calcule a integral tripla: ; onde é o tetraedro com vértices ; e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla , onde é um tetraedro com vértices em , , e . Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral, mais especificamente ao cálculo de integrais múltiplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para o tetraedro e, em seguida, executar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro no espaço tridimensional. Os vértices estão nos pontos , , e . Isso significa que o tetraedro está limitado pelos planos formados por esses pontos.

Passo 3

Para definir os limites de integração, vamos expressar as coordenadas , e em termos de cada uma delas. Observando os vértices, vemos que varia de a , varia de a uma função linear de , e varia de a uma outra função linear de e .

Passo 4

Determinar as funções que limitam e . Como os vértices em e são e respectivamente, podemos estabelecer que:
  • Para cada valor de , varia de até .
  • Para cada par , varia de até .

Passo 5

Agora, podemos expressar a integral tripla com os limites definidos:

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :
Vamos expandir :
Multiplicando por :
Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:
Substituindo :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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