Calcular as integrais : integral 3 x-2(x-4)(2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em técnicas de integração usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração racional em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 3x - 2(x - 4)(2x + 1) = Ax - 4 + B2x + 1 em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes 3x - 2 = A(2x + 1) + B(x - 4) e 3(4) - 2 = A(2(4) + 1) + B(0) Rightarrow 12 - 2 = A(9) Rightarrow 10 = 9A Rightarrow A = 109 tais que:
3(-12) - 2 = A(0) + B(-12 - 4) Rightarrow -32 - 2 = B(-92) Rightarrow -72 = -92B Rightarrow B = 79
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
  1. Se :
  1. Se :

Passo 3

Agora que temos integral 3x - 2(x - 4)(2x + 1) , dx = integral ( 109x - 4 + 792x + 1 ) , dx e 109 integral 1x - 4 , dx + 79 integral 12x + 1 , dx , podemos reescrever a integral original usando essas frações parciais:
Vamos separar a integral em duas partes:
A integral da forma é , onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração:
109 integral 1x - 4 , dx = 109 ln|x - 4|
79 integral 12x + 1 , dx = 79 cdot 12 ln|2x + 1| = 718 ln|2x + 1|

Resposta

integral 3x - 2(x - 4)(2x + 1) , dx = 109 ln|x - 4| + 718 ln|2x + 1| + C

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