Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
/I
/I
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e o comportamento das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, analisamos o comportamento de cada termo conforme
cresce. Sabemos que
cresce muito rápido conforme
aumenta, enquanto
tende a zero, já que é o inverso de uma função que cresce.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
, que é o termo de maior crescimento no denominador:
Passo 4
Agora, observamos o que acontece quando
tende ao infinito:
-
tende a 0, porque cresce sem limites. -
também tende a 0 ainda mais rápido. -
tende a 0.
Então, substituindo esses limites na expressão simplificada:
Resposta
A sequência converge e o limite é
.
Exercícios relacionados
Derive as funções a seguir.
Calcular as integrais :
Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais:
; onde
é limitado abaixo pelo cone
e acima pela esfera
.
Considere a função
dada por
. Determine a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.