Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

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Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e o comportamento das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, analisamos o comportamento de cada termo conforme cresce. Sabemos que cresce muito rápido conforme aumenta, enquanto tende a zero, já que é o inverso de uma função que cresce.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por , que é o termo de maior crescimento no denominador:

Passo 4

Agora, observamos o que acontece quando tende ao infinito:
  • tende a 0, porque cresce sem limites.
  • também tende a 0 ainda mais rápido.
  • tende a 0.
Então, substituindo esses limites na expressão simplificada:

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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