Calcular as integrais :
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da integração de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de substituição e identidades trigonométricas.
Passo 2
Como a potência de cosseno é ímpar (7 é ímpar), a gente pode separar um fator de
e transformar os demais fatores de
em termos de
. Vamos fazer isso usando a identidade
. Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso simplifica nossa integral para:
Passo 4
Vamos expandir o binômio
usando a fórmula do binômio de Newton:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Integramos cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
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Determine
usando a definição de derivada em cada item a seguir.
Calcular as integrais :
Calcular as integrais :
Seja
uma função real tal que a reta tangente a seu gráfico no ponto
também passa pelo ponto
. Se
, determine
.