Calcular as integrais : integral cos ^7 x d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da integração de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Como a potência de cosseno é ímpar (7 é ímpar), a gente pode separar um fator de integral cos^7 x , dx = integral cos^6 x cdot cos x , dx = integral (1 - sin^2 x)^3 cdot cos x , dx e transformar os demais fatores de em termos de . Vamos fazer isso usando a identidade . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir integral (1 - u^2)^3 , du . Então, a derivada de em relação a é . Isso simplifica nossa integral para:

Passo 4

Vamos expandir o binômio (1 - u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6 usando a fórmula do binômio de Newton:
integral (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) , du
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
integral 1 , du = u
integral -3u^2 , du = -u^3
integral 3u^4 , du = 35u^5
integral -u^6 , du = -17u^7
Então, juntando tudo:
u - u^3 + 35u^5 - 17u^7 + C

Passo 6

Por fim, substituímos sin x - sin^3 x + 35sin^5 x - 17sin^7 x + C de volta na expressão:

Resposta

integral cos^7 x , dx = sin x - sin^3 x + 35sin^5 x - 17sin^7 x + C

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