Calcular as integrais :

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da integração de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Como a potência de cosseno é ímpar (7 é ímpar), a gente pode separar um fator de e transformar os demais fatores de em termos de . Vamos fazer isso usando a identidade . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é . Isso simplifica nossa integral para:

Passo 4

Vamos expandir o binômio usando a fórmula do binômio de Newton:
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Por fim, substituímos de volta na expressão:

Resposta

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Determine usando a definição de derivada em cada item a seguir.
Calcular as integrais :
Calcular as integrais :
Seja uma função real tal que a reta tangente a seu gráfico no ponto também passa pelo ponto . Se , determine .