Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse exercício é da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Assim, podemos reescrever a integral em termos de e .

Passo 3

Vamos expandir a expressão da integral:
Isso simplifica a integral para .

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Substituindo e , temos:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta:
Podemos escrever isso usando :

Resposta

A integral é igual a:

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Seja uma função real tal que a reta tangente a seu gráfico no ponto também passa pelo ponto . Se , determine .
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