Calcular as integrais : integral cotg^3 4 x cossec^3 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse exercício é da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Assim, podemos reescrever a integral em termos de e .

Passo 3

Vamos expandir a expressão da integral:
integral cot^3(4x) csc^3(4x) , dx = integral (cos(4x)sin(4x))^3 (1sin(4x))^3 , dx = integral cos^3(4x)sin^6(4x) , dx
Isso simplifica a integral para .

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sin(4x)
Então, a derivada de du = 4 cos(4x) , dx Rightarrow cos(4x) , dx = du4 em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral cos^3(4x)sin^6(4x) , dx = integral cos^2(4x) cdot cos(4x)sin^6(4x) , dx = integral (1 - sin^2(4x)) cdot cos(4x)sin^6(4x) , dx :
integral 1 - u^2u^6 cdot du4 = 14 integral (u^-6 - u^-4) , du
Substituindo e , temos:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
14 integral u^-6 , du - 14 integral u^-4 , du = 14 ( u^-5-5 ) - 14 ( u^-3-3 ) + C
Simplificando:
= -120 u^-5 + 112 u^-3 + C

Passo 7

Agora, substituímos -120 1sin^5(4x) + 112 1sin^3(4x) + C de volta:
- 120 csc^5(4x) + 112 csc^3(4x) + C
Podemos escrever isso usando :

Resposta

A integral -120 csc^5(4x) + 112 csc^3(4x) + C é igual a:

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