Determine usando a definição de derivada em cada item a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar usando a definição de derivada. A função dada é . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de derivada, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada em um ponto específico, a gente olha para a taxa de variação da função quando fazemos um pequeno aumento em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para encontrar . Aqui, , então precisamos calcular:

Passo 4

Vamos calcular . Substituindo na função :
E também sabemos que é:

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na expressão da derivada:

Passo 6

Simplificando a fração:

Passo 7

Como está se aproximando de 0, o limite da expressão acima é simplesmente 2. Portanto:

Resposta

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