Seja uma função real tal que a reta tangente a seu gráfico no ponto também passa pelo ponto . Se , determine .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função real e sabemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto também passa pelo ponto . Além disso, definiu-se uma nova função , e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto , ou seja, .
Conteúdo envolvido:
  • Derivadas de funções: Entender como calcular a derivada de uma função composta.
  • Equação da reta tangente: Saber como determinar a equação de uma reta que é tangente a uma curva em um ponto específico.
  • Teorema básico de cálculo: Aplicar as regras de derivação para funções compostas.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar a inclinação da reta tangente à função no ponto dado.
  2. Determinar a expressão da função .
  3. Calcular a derivada de e então avaliar em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta tangente à função no ponto . A inclinação da reta ( ) pode ser calculada usando dois pontos que ela passa. Sabemos que ela passa por e por .
A fórmula para a inclinação entre dois pontos e é:
Substituindo os valores:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 3

Sabemos que a derivada da função no ponto é a inclinação da reta tangente naquele ponto. Portanto:
Agora, precisamos encontrar uma expressão para . Assumindo que seja uma função linear (já que a reta tangente é constante e passa por apenas dois pontos), podemos expressá-la na forma:
Onde:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar :
Sabemos que . Para encontrar , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Sabemos que e, como é linear, sua derivada é constante e igual a . Portanto:

Resposta

.

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Determine quais afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas, justificando.
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