Seja
uma função real tal que a reta tangente a seu gráfico no ponto
também passa pelo ponto
. Se
, determine
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função real
e sabemos que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
também passa pelo ponto
. Além disso, definiu-se uma nova função
, e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto
, ou seja,
.
Conteúdo envolvido:
- Derivadas de funções: Entender como calcular a derivada de uma função composta.
- Equação da reta tangente: Saber como determinar a equação de uma reta que é tangente a uma curva em um ponto específico.
- Teorema básico de cálculo: Aplicar as regras de derivação para funções compostas.
O que vamos precisar:
- Encontrar a inclinação da reta tangente à função
no ponto dado. - Determinar a expressão da função
. - Calcular a derivada de
e então avaliar em .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta tangente à função
no ponto
. A inclinação da reta (
) pode ser calculada usando dois pontos que ela passa. Sabemos que ela passa por
e por
.
A fórmula para a inclinação entre dois pontos
e
é:
Substituindo os valores:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 3
Sabemos que a derivada da função
no ponto
é a inclinação da reta tangente naquele ponto. Portanto:
Agora, precisamos encontrar uma expressão para
. Assumindo que
seja uma função linear (já que a reta tangente é constante e passa por apenas dois pontos), podemos expressá-la na forma:
Onde:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar
:
Sabemos que
. Para encontrar
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Sabemos que
e, como
é linear, sua derivada
é constante e igual a
. Portanto:
Resposta
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Determine quais afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas, justificando.
.