Calcular as integrais : integral d t9 t^4+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais racionais e, para isso, vamos precisar usar frações parciais e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observe que podemos fatorar 9t^4 + t^2 = t^2(9t^2 + 1) de forma mais simples:
integral dtt^2(9t^2 + 1)
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a fração em partes mais fáceis de integrar. Procuramos expressar:
1t^2(9t^2 + 1) = At + Bt^2 + Ct + D9t^2 + 1
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum 1 = A cdot t cdot (9t^2 + 1) + B cdot (9t^2 + 1) + (Ct + D) cdot t^2 , temos:

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
1 = 9A t^3 + A t + 9B t^2 + B + C t^3 + D t^2
Agrupando os mesmos poderes de (9A + C)t^3 + (9B + D)t^2 + A t + B = 1 :
9A + C = 0 9B + D = 0 A = 0 B = 1
Para que essa igualdade seja válida para todo A = 0, B = 1, C = 0, D = -9 , os coeficientes dos termos de devem ser iguais em ambos os lados. Então, temos o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão das frações parciais:
1t^2(9t^2 + 1) = 0t + 1t^2 + 0 cdot t - 99t^2 + 1 = 1t^2 - 99t^2 + 1
Agora, a integral fica:
integral ( 1t^2 - 99t^2 + 1 ) dt

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. A primeira parte é:
integral 1t^2 dt = -1t + C1
Para a segunda parte, usamos uma substituição. Deixe integral 99t^2 + 1 dt = 9 integral 19t^2 + 1 dt = 9 cdot 13 integral 1u^2 + 1 du = 3 arctan(u) + C2 = 3 arctan(3t) + C2 , então ou :

Resposta

Juntando tudo, a integral calculada é:
-1t - 3 arctan(3t) + C
onde é a constante de integração.

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