Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais racionais e, para isso, vamos precisar usar frações parciais e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observe que podemos fatorar de forma mais simples:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a fração em partes mais fáceis de integrar. Procuramos expressar:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Passo 4
Vamos expandir e agrupar os termos:
Agrupando os mesmos poderes de :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de devem ser iguais em ambos os lados. Então, temos o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão das frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente. A primeira parte é:
integral 1t^2 dt = -1t + C1
Para a segunda parte, usamos uma substituição. Deixe integral 99t^2 + 1 dt = 9 integral 19t^2 + 1 dt = 9 cdot 13 integral 1u^2 + 1 du = 3 arctan(u) + C2 = 3 arctan(3t) + C2 , então ou :