Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais racionais e, para isso, vamos precisar usar frações parciais e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observe que podemos fatorar de forma mais simples:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a fração em partes mais fáceis de integrar. Procuramos expressar:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
Agrupando os mesmos poderes de :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de devem ser iguais em ambos os lados. Então, temos o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão das frações parciais:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. A primeira parte é:
Para a segunda parte, usamos uma substituição. Deixe , então ou :

Resposta

Juntando tudo, a integral calculada é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir, justificando.
Derive as funções a seguir.
Determine usando a definição de derivada em cada item a seguir.
Calcular as integrais :