Calcular as integrais : integral cossec^2(ln x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais utilizando substituição. Para resolver, vamos precisar entender a função (que é a cossecante, ou seja, ) e aplicar a técnica de substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. Sabemos que integral csc^2(ln x)x , dx , então a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de substituição para facilitar a resolução. Vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da função trigonométrica. Vamos definir:
t = ln x

Passo 4

Com dtdx = 1x Rightarrow dx = x , dt , precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo integral csc^2(t)x cdot x , dt = integral csc^2(t) , dt e na integral original, temos:
Aqui, o e se cancelam, simplificando a integral.

Passo 6

Agora, precisamos integrar integral csc^2(t) , dt = -cot(t) + C . Sabemos que a integral de é uma função trigonométrica padrão:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original -cot(ln x) + C substituindo :

Resposta

integral csc^2(ln x)x , dx = -cot(ln x) + C

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