Calcular as integrais : integral x^9 sen x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a integral de em relação a . Isso envolve conhecimentos de integração por substituição e integração por partes. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir e depois aplicar a técnica de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a substituição para simplificar a integral. Olha só, temos , e o expoente de é 5, que é um número que aparece também como o expoente no . Vamos chamar . Assim, a gente precisa encontrar .

Passo 3

Calculando u = x^5 dudx = 5x^4 du = 5x^4 dx Rightarrow dx = du5x^4 :
Agora, vamos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral original:
Mas, como integral x^9 sen(x^5) dx = integral x^9 sen(u) cdot du5x^4 = 15 integral x^5 sen(u) du , então 15 integral u sen(u) du . Portanto:
Agora, precisamos resolver a integral usando integração por partes.

Passo 5

Para integrar por partes, usamos a fórmula:
integral v , dw = v cdot w - integral w , dv
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Onde v = u Rightarrow dv = du dw = sen(u) du Rightarrow w = -cos(u) é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial:

Resposta

A integral de em relação a sen(x^5) - x^5 cos(x^5)5 + C é:
Onde é a constante de integração.

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