Calcular as integrais : integral raizy^2-9y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raizy^2-9y , dy. O conteúdo aqui envolve Cálculo Integral, especificamente integrais que incluem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar utilizar uma técnica de substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
t = raizy^2 - 9
Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de t, facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da substituição para encontrar dy em termos de dt:
t = raizy^2 - 9 t^2 = y^2 - 9 2t , dt = 2y , dy ydy = t , dt dy = ty , dt

Passo 4

Com a expressão para dy, substituímos na integral original:
integral raizy^2-9y , dy = integral ty cdot ty , dt = integral t^2y^2 , dt
Mas sabemos que y^2 = t^2 + 9 (a partir da substituição inicial), então:
integral t^2t^2 + 9 , dt

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
t^2t^2 + 9 = 1 - 9t^2 + 9
Então, a integral se torna:
integral (1 - 9t^2 + 9) , dt = integral 1 , dt - 9 integral 1t^2 + 9 , dt

Passo 6

Agora, resolvemos cada parte da integral:
  1. integral 1 , dt = t
  2. integral 1t^2 + 9 , dt = 13 tan^-1(t3)
Portanto:
t - 9 cdot 13 tan^-1(t3) + C = t - 3 tan^-1(t3) + C

Passo 7

Finalmente, substituímos t de volta em termos de y:
t = raizy^2 - 9
Então, a solução da integral é:
raizy^2 - 9 - 3 tan^-1(raizy^2 - 93) + C

Resposta

A integral de raizy^2-9y , dy é:
raizy^2 - 9 - 3 tan^-1(raizy^2 - 93) + C
onde C é a constante de integração.

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