Calcular as integrais : integral cotg^4(2 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral de . Isso entra na matéria de cálculo integral, mais especificamente em integrais que envolvem funções trigonométricas. Vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cot^4(2x) = (cot^2(2x))^2 = (csc^2(2x) - 1)^2 = csc^4(2x) - 2csc^2(2x) + 1 usando a identidade . Assim:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em três partes:
integral cot^4(2x) , dx = integral csc^4(2x) , dx - 2integral csc^2(2x) , dx + integral 1 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. Integral de integral csc^4(2x) , dx = 12 ( -cot(2x) - cot^3(2x)3 ) + C :
    Usamos a identidade e fazemos uma substituição. Seja -2integral csc^2(2x) , dx = -2 ( -12 cot(2x) ) = cot(2x) , então integral 1 , dx = x + C , ou seja, .
    A integral fica:
  2. Integral de :
    Sabemos que . Aplicando isso:
  3. Integral de :
    Essa é bem direta:

Resposta

Juntando todas as partes, a integral de 12 cot(2x) - 16 cot^3(2x) + x + C é:

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