Calcule as integrais abaixo: integral xraizx^2-4 x+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com o cálculo de integrais que envolvem raízes quadradas e expressões quadráticas no denominador. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e depois fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: x^2 - 4x + 8 = (x^2 - 4x + 4) + 4 = (x - 2)^2 + 4 . Para completar o quadrado, buscamos reescrever essa expressão na forma integral xraiz(x - 2)^2 + 4 , dx .
Calculando:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a integral. Observe que integral (x - 2) + 2raiz(x - 2)^2 + 4 , dx = integral x - 2raiz(x - 2)^2 + 4 , dx + 2 integral 1raiz(x - 2)^2 + 4 , dx . Vamos substituir isso na integral:
Agora, temos duas integrais para resolver.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: du = 2(x - 2) , dx Rightarrow du2 = (x - 2) , dx .
Aqui, fazemos a substituição integral x - 2raiz(x - 2)^2 + 4 , dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot 2u^1/2 + C = raizu + C . Então, a derivada de raiz(x - 2)^2 + 4 em relação a é:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: 2 integral 1raiz(x - 2)^2 + 4 , dx = 2 ln| (x - 2) + raiz(x - 2)^2 + 4 | + C .
Esse tipo de integral se assemelha à forma padrão .
Aplicando isso aqui:

Resposta

Juntando as duas partes, a solução da integral é:
raizx^2 - 4x + 8 + 2, ln|,x - 2 + raizx^2 - 4x + 8,| + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados