Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com o cálculo de integrais que envolvem raízes quadradas e expressões quadráticas no denominador. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e depois fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Para completar o quadrado, buscamos reescrever essa expressão na forma .
Calculando:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a integral. Observe que . Vamos substituir isso na integral:
Agora, temos duas integrais para resolver.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: .
Aqui, fazemos a substituição . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Esse tipo de integral se assemelha à forma padrão .
Aplicando isso aqui:

Resposta

Juntando as duas partes, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a região delimitada pelas curvas ,
Calcular as integrais :
Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a elipse dada por , onde e são constantes.
Mostre que