Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a região delimitada pelas curvas
,
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Queremos encontrar a imagem do conjunto
sob uma transformação específica. O conjunto
é a região delimitada pelas curvas
,
e
. A transformação que estamos usando é dada por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa transformação afeta os pontos no conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o conjunto
. As curvas que delimitam
são:
-
: o eixo y. -
: uma linha horizontal no ponto . -
: uma parábola que abre para cima.
Então,
é a região entre o eixo y, a linha
e a parábola
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a transformação dada:
-
: isso significa que o novo valor de é o quadrado de . -
: o valor de permanece o mesmo que .
Essa transformação vai mapear pontos do plano
para o plano
.
Passo 4
Para encontrar a imagem de
sob essa transformação, precisamos substituir as expressões de
e
em termos de
e
nas equações que delimitam
.
As equações que delimitam
são:
-
→ Substituindo temos → . -
→ Substituindo temos . -
→ Substituindo e temos .
Passo 5
Agora, vamos descrever a região imagem no plano
com base nas equações obtidas:
-
: uma linha vertical no eixo . -
: uma linha horizontal no ponto . -
: uma curva que é uma parábola de quarto grau, que começa no ponto e cresce para cima conforme aumenta.
Passo 6
A região imagem será o conjunto de pontos
que satisfazem todas as condições acima. Ou seja, é a região delimitada por
,
e
.
Resposta
A imagem do conjunto
sob a transformação
e
é a região no plano
delimitada pelas curvas
,
e
.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais :
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a região delimitada pelas retas
e pela parábola
Calcule as integrais abaixo:
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a elipse dada por
, onde
e
são constantes.