Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a região delimitada pelas curvas ,

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Queremos encontrar a imagem do conjunto sob uma transformação específica. O conjunto é a região delimitada pelas curvas , e . A transformação que estamos usando é dada por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como essa transformação afeta os pontos no conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o conjunto . As curvas que delimitam são:
  • : o eixo y.
  • : uma linha horizontal no ponto .
  • : uma parábola que abre para cima.
Então, é a região entre o eixo y, a linha e a parábola .

Passo 3

Agora, vamos analisar a transformação dada:
  • : isso significa que o novo valor de é o quadrado de .
  • : o valor de permanece o mesmo que .
Essa transformação vai mapear pontos do plano para o plano .

Passo 4

Para encontrar a imagem de sob essa transformação, precisamos substituir as expressões de e em termos de e nas equações que delimitam .
As equações que delimitam são:
  1. → Substituindo temos .
  2. → Substituindo temos .
  3. → Substituindo e temos .

Passo 5

Agora, vamos descrever a região imagem no plano com base nas equações obtidas:
  • : uma linha vertical no eixo .
  • : uma linha horizontal no ponto .
  • : uma curva que é uma parábola de quarto grau, que começa no ponto e cresce para cima conforme aumenta.

Passo 6

A região imagem será o conjunto de pontos que satisfazem todas as condições acima. Ou seja, é a região delimitada por , e .

Resposta

A imagem do conjunto sob a transformação e é a região no plano delimitada pelas curvas , e .

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Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a região delimitada pelas retas e pela parábola
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Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a elipse dada por , onde e são constantes.