Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a região delimitada pelas retas e pela parábola

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a imagem do conjunto sob uma transformação específica. O que isso significa? Basicamente, temos uma região definida pelas retas , , e pela parábola . A transformação que vamos aplicar é dada por:
Vamos usar conhecimentos de transformações de coordenadas para descobrir como essa região muda quando aplicamos essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a transformação que estamos usando. Temos duas novas variáveis, e , que estão relacionadas às antigas e da seguinte forma:
Isso significa que para cada ponto no plano , a transformação nos dá um ponto no plano .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites da região :
  • : Essa é a reta vertical no eixo .
  • : Outra reta vertical, mas no ponto .
  • : Essa é a reta horizontal no eixo .
  • : Uma parábola que se abre para cima.
Queremos ver como essas retas e a parábola são transformadas quando usamos e .

Passo 4

Vamos transformar cada uma dessas fronteiras:
  1. Para :
    Então, essa reta no plano é simplesmente .
  2. Para :
    No plano , essa é a reta vertical .
  3. Para :
    Como nunca é zero, isso implica que .
    Então, essa fronteira no plano é a reta horizontal .
  4. Para :
    Substituindo e :
    Dividindo ambos os lados por (que não é zero):
    Assim, essa fronteira no plano é a reta horizontal .

Passo 5

Agora que transformamos todas as fronteiras, podemos descrever a imagem do conjunto no plano . As fronteiras transformadas são:
  • (origem )
  • (origem )
  • (origem )
  • (origem )
Isso significa que a imagem de é um retângulo no plano limitado por entre 0 e 1 e entre 0 e 1.

Resposta

A imagem do conjunto sob a transformação dada é o retângulo no plano definido por:

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.
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Calcular as integrais :
Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a região delimitada pelas curvas ,