Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a região delimitada pelas retas
e pela parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a imagem do conjunto
sob uma transformação específica. O que isso significa? Basicamente, temos uma região
definida pelas retas
,
,
e pela parábola
. A transformação que vamos aplicar é dada por:
Vamos usar conhecimentos de transformações de coordenadas para descobrir como essa região muda quando aplicamos essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a transformação que estamos usando. Temos duas novas variáveis,
e
, que estão relacionadas às antigas
e
da seguinte forma:
Isso significa que para cada ponto
no plano
, a transformação nos dá um ponto
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os limites da região
:
-
: Essa é a reta vertical no eixo . -
: Outra reta vertical, mas no ponto . -
: Essa é a reta horizontal no eixo . -
: Uma parábola que se abre para cima.
Queremos ver como essas retas e a parábola são transformadas quando usamos
e
.
Passo 4
Vamos transformar cada uma dessas fronteiras:
-
Para
: Então, essa reta no planoé simplesmente . -
Para
: No plano, essa é a reta vertical . -
Para
: Comonunca é zero, isso implica que .
Então, essa fronteira no planoé a reta horizontal . -
Para
:
Substituindoe : Dividindo ambos os lados por(que não é zero): Assim, essa fronteira no planoé a reta horizontal .
Passo 5
Agora que transformamos todas as fronteiras, podemos descrever a imagem do conjunto
no plano
. As fronteiras transformadas são:
-
(origem ) -
(origem ) -
(origem ) -
(origem )
Isso significa que a imagem de
é um retângulo no plano
limitado por
entre 0 e 1 e
entre 0 e 1.
Resposta
A imagem do conjunto
sob a transformação dada é o retângulo no plano
definido por:
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Determine quais afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas, justificando.
.
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
fora do cilindro
.
Calcular as integrais :
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a região delimitada pelas curvas
,