Calcule os limites a seguir, justificando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 0. O conteúdo que vamos usar aqui é o de limites, e possivelmente a regra de L’Hôpital. Vamos precisar identificar se estamos diante de uma forma indeterminada para aplicar a regra corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na função para ver o que acontece:
Essa forma
é indeterminada, o que significa que precisamos de uma outra técnica para calcular o limite. Aqui é onde a regra de L’Hôpital entra em cena.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite que resulta em uma forma indeterminada
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função original.
Passo 4
Vamos derivar o numerador
e o denominador
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, a nova função para o limite é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa nova função quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é
.
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Determine
usando a definição de derivada em cada item a seguir.