Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x 0 2^x+1-25 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0. O conteúdo que vamos usar aqui é o de limites, e possivelmente a regra de L’Hôpital. Vamos precisar identificar se estamos diante de uma forma indeterminada para aplicar a regra corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2^0+1 - 25 times 0 = 2 - 20 = 00 na função para ver o que acontece:
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos de uma outra técnica para calcular o limite. Aqui é onde a regra de L’Hôpital entra em cena.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite que resulta em uma forma indeterminada ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função original.

Passo 4

Vamos derivar o numerador ddx (2^x+1 - 2) = ln(2) times 2^x+1 e o denominador ddx (5x) = 5 :
  • Derivada do numerador:
ln(2) times 2^x+15
  • Derivada do denominador:
Então, a nova função para o limite é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa nova função quando limx 0 ln(2) times 2^x+15 = ln(2) times 2^0+15 = ln(2) times 25 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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