Calcular as integrais : integral d tt^2 raiz9+t^2

Passo 1

Vamos calcular a integral integral dtt^2 raiz9 + t^2. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição trigonométrica, que nos ajudam a simplificar integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Precisaremos entender como fazer uma substituição adequada e como lidar com a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observamos que 9 + t^2 se assemelha à identidade trigonométrica 1 + tan^2theta = sec^2theta. Então, vamos definir:
t = 3 tan theta

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dt em termos de theta. Derivando ambos os lados da substituição t = 3 tan theta em relação a theta, temos:
dt = 3 sec^2theta , dtheta

Passo 4

Substituímos t e dt na integral original:
integral dtt^2 raiz9 + t^2 = integral 3 sec^2theta , dtheta(3 tan theta)^2 raiz9 + (3 tan theta)^2

Passo 5

Simplificamos os termos na integral:
(3 tan theta)^2 = 9 tan^2theta
9 + (3 tan theta)^2 = 9 + 9 tan^2theta = 9(1 + tan^2theta) = 9 sec^2theta
raiz9 sec^2theta = 3 sec theta
Então, a integral fica:
integral 3 sec^2theta , dtheta9 tan^2theta cdot 3 sec theta = integral 3 sec^2theta , dtheta27 tan^2theta sec theta = integral sec theta9 tan^2theta , dtheta

Passo 6

Simplificamos ainda mais:
sec theta9 tan^2theta = sec theta9 sin^2thetacos^2theta = sec theta cdot cos^2theta9 sin^2theta = cos theta9 sin^2theta
Isso pode ser reescrito como:
19 cdot cos thetasin^2theta

Passo 7

Agora, reconhecemos que cos thetasin^2theta é a derivada de -1sin theta. Portanto, a integral se torna:
19 integral cos thetasin^2theta , dtheta = 19 ( -1sin theta ) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltamos para a variável original t. Sabemos que t = 3 tan theta, então:
tan theta = t3
sin theta = traiz9 + t^2
Portanto:
-1sin theta = -raiz9 + t^2t

Resposta

A integral �� igual a:
-raiz9 + t^29 t + C

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