(2) (2)Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries de potências e a série geométrica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Observe que podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a expressão é a forma da série geométrica, que pode ser expandida como:
No nosso caso, . Então, podemos substituir na série geométrica:
Passo 4
Voltando à nossa função , substituímos a série geométrica que encontramos:
Simplificando a expressão:
Podemos também reescrever de forma mais compacta:
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, lembramos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então a condição de convergência é: