(2) (2)Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries de potências e a série geométrica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Observe que podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a expressão é a forma da série geométrica, que pode ser expandida como:
No nosso caso, . Então, podemos substituir na série geométrica:

Passo 4

Voltando à nossa função , substituímos a série geométrica que encontramos:
Simplificando a expressão:
Podemos também reescrever de forma mais compacta:

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, lembramos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então a condição de convergência é:
Portanto, o raio de convergência é igual a .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o raio de convergência dessa série é .

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d)
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p)
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