Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
d) (r ∇) f(r)
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para determinar o resultado da ação do operador vetorial diferencial em uma função . Aqui, r é o vetor posição dado por , e é uma função que depende apenas do módulo de r, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar operadores diferenciais em funções vetoriais e usar cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o operador . Aqui, é o operador gradiente, que em coordenadas cartesianas é dado por:
O ponto entre r e indica produto escalar. Então, o operador aplicado a uma função é:

Passo 3

Como depende apenas de r, podemos usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais:
De forma semelhante:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do operador, temos:
Simplificando:

Passo 5

Notando que , substituímos na expressão:

Resposta

O resultado da ação do operador é:

Exercícios relacionados

Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
grad(f(r))
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).
Calcular as integrais: e) integral-infty^infty cos (omega x) de;
Resolva as integrais: integral(e^x+sec ^2 x) d x
Econtrar o fluxo do campo vetorial A por superfície de paralelipípedo de lados a, b, c com coordenadas dos vértices (+- a / 2, +- b / 2, +- c / 2), A = i x + j y^3 + k z^5.