Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para determinar o resultado da ação do operador vetorial diferencial
em uma função
. Aqui,
é o vetor posição dado por
, e
é uma função que depende apenas do módulo de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar operadores diferenciais em funções vetoriais e usar cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o operador
. Aqui,
é o operador gradiente, que em coordenadas cartesianas é dado por:
O ponto entre
e
indica produto escalar. Então, o operador
aplicado a uma função
é:
Passo 3
Como
depende apenas de
, podemos usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais:
De forma semelhante:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do operador, temos:
Simplificando:
Passo 5
Notando que
, substituímos na expressão:
Resposta
O resultado da ação do operador é:
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Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Calcular as integrais: e)
;
Resolva as integrais:
Econtrar o fluxo do campo vetorial
por superfície de paralelipípedo de lados
com coordenadas dos vértices
.