Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: c)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos singulares da função
e determinar que tipo de singularidade cada um é. Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre singularidades de funções holomorfas. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter pontos singulares. Um ponto singular ocorre onde a função não é analítica, ou seja, onde ela não está bem definida. Olhando para
, vemos que o denominador é
. Portanto, o único ponto onde a função pode não estar bem definida é quando
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é o único candidato a ponto singular, precisamos determinar que tipo de singularidade é essa. As principais tipos de singularidades são:
- Singularidade removível: Se a função pode ser “consertada” definindo seu valor em
, de modo que ela se torne analítica nesse ponto. - Pólo: Se a função tem um comportamento do tipo
perto do ponto singular. - Singularidade essencial: Se a função tem uma natureza mais complicada, com um comportamento caótico próximo ao ponto.
Passo 4
Para determinar o tipo de singularidade em
, vamos expandir
em série de Taylor:
Substituindo na função
:
Então,
Passo 5
Observamos que, após simplificar, a função
fica:
Não há termos negativos de
na expansão, o que indica que o limite quando
se aproxima de 0 é finito:
Isso significa que podemos definir
, tornando a função analítica em
.
Resposta
A função
possui um único ponto singular em
, e esse ponto é uma singularidade removível.
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é o zero da ordem
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da função
. O zero da qual ordem é
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;
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:
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;
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;