Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para: c) f(z) = (1 - cos(z)) / z^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos singulares da função e determinar que tipo de singularidade cada um é. Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre singularidades de funções holomorfas. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter pontos singulares. Um ponto singular ocorre onde a função não é analítica, ou seja, onde ela não está bem definida. Olhando para , vemos que o denominador é . Portanto, o único ponto onde a função pode não estar bem definida é quando .

Passo 3

Agora que sabemos que é o único candidato a ponto singular, precisamos determinar que tipo de singularidade é essa. As principais tipos de singularidades são:
  1. Singularidade removível: Se a função pode ser “consertada” definindo seu valor em , de modo que ela se torne analítica nesse ponto.
  2. Pólo: Se a função tem um comportamento do tipo perto do ponto singular.
  3. Singularidade essencial: Se a função tem uma natureza mais complicada, com um comportamento caótico próximo ao ponto.

Passo 4

Para determinar o tipo de singularidade em , vamos expandir em série de Taylor:
Substituindo na função :
Então,

Passo 5

Observamos que, após simplificar, a função fica:
Não há termos negativos de na expansão, o que indica que o limite quando se aproxima de 0 é finito:
Isso significa que podemos definir , tornando a função analítica em .

Resposta

A função possui um único ponto singular em , e esse ponto é uma singularidade removível.

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