Calcular as integrais : integral(9 sec x+3 cotg^2 x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Vamos usar técnicas de integração, especificamente a integração de funções trigonométricas. Vamos resolver cada termo separadamente para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C . A função integral 9 sec x , dx = 9 ln |sec x + tan x| + C é o inverso do cosseno, ou seja, . A integral de é conhecida e vale:
Então, para , multiplicamos o resultado por 9:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral 3 cot^2 x , dx = 3 integral (csc^2 x - 1) , dx . Sabemos que e que . Então, podemos reescrever a integral:

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente:
3 integral csc^2 x , dx = 3 (-cot x) + C
3 integral (-1) , dx = -3x + C
Juntando os dois resultados:
integral 3 cot^2 x , dx = -3 cot x - 3x + C

Passo 5

Agora, somamos as integrais dos dois termos que calculamos:
integral (9 sec x + 3 cot^2 x) dx = 9 ln |sec x + tan x| - 3 cot x - 3x + C

Resposta

A integral de 9 ln |sec x + tan x| - 3 cot x - 3x + C em relação a é:

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