Calcular as integrais : integral 5 x^2 raiz6-2 x d x

Passo 1

Então, a gente tem para resolver a integral . Isso envolve funções polinomiais e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Isso vai facilitar nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -2 Rightarrow dx = -du2 em relação a :
Isso nos permite substituir na integral.

Passo 4

Também precisamos expressar 2x = 6 - u Rightarrow x = 6 - u2 em termos de . Da substituição , temos:
Então, .

Passo 5

Vamos substituir tudo na integral original:
integral 5x^2 raiz6-2x , dx = integral 5(6 - u2)^2 raizu (-du2)
Simplificando os termos:
= -54 integral (6 - u)^2 raizu , du

Passo 6

Agora, expandimos (6 - u)^2 = 36 - 12u + u^2 :
-54 integral (36 - 12u + u^2) u^1/2 , du
Substituindo de volta na integral:
-54 integral (36u^1/2 - 12u^3/2 + u^5/2) , du
Distribuindo :

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
-54 [ 36 cdot u^3/23/2 - 12 cdot u^5/25/2 + u^7/27/2 ] + C
Simplificando as frações:
-54 [ 24u^3/2 - 245u^5/2 + 27u^7/2 ] + C

Passo 8

Distribuindo o -30u^3/2 + 6u^5/2 - 514u^7/2 + C :
-30(6 - 2x)^3/2 + 6(6 - 2x)^5/2 - 514(6 - 2x)^7/2 + C
Agora, substituímos de volta:

Resposta

A integral -30(6 - 2x)^3/2 + 6(6 - 2x)^5/2 - 514(6 - 2x)^7/2 + C é igual a:

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