Calcular as integrais : integral sen x cos x raiz2+sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de sin x cos x raiz2 + sin x , dx. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais que podem ser resolvidas usando substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar:
u = 2 + sin x
A ideia aqui é transformar a integral em termos de u, o que facilitará a resolução.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = cos x du = cos x , dx
Percebemos que cos x , dx está presente na nossa integral original, o que é ótimo porque podemos substituir essa parte por du.

Passo 4

Vamos reorganizar a integral original usando nossa substituição:
integral sin x cos x raiz2 + sin x , dx = integral sin x raizu , du
Porque u = 2 + sin x, então sin x = u - 2. Substituindo isso na integral:
integral (u - 2) raizu , du

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(u - 2) raizu = u cdot u^1/2 - 2 cdot u^1/2 = u^3/2 - 2u^1/2
Então, nossa integral fica:
integral ( u^3/2 - 2u^1/2 ) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2 integral -2u^1/2 , du = -2 cdot u^3/232 = -43 u^3/2
Então, a integral fica:
25 u^5/2 - 43 u^3/2 + C

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original x substituindo u = 2 + sin x:
25 (2 + sin x)^5/2 - 43 (2 + sin x)^3/2 + C

Resposta

A integral é igual a 25 (2 + sin x)^5/2 - 43 (2 + sin x)^3/2 + C, onde C é a constante de integração.

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