Um projétil é lançado verticalmente para cima de uma altura de
em relação ao solo, com uma velocidade inicial de
num local onde a aceleração da gravidade é dada por
. Desprezando-se a resistência do ar, a aceleração do projétil é dada por
. Determine a equação horária da posição e a altura máxima atingida pelo projétil.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Movimento Vertical com aceleração variável. A gente vai precisar usar um pouco de cálculo, como integração, pra achar a posição do projétil ao longo do tempo e também a altura máxima que ele alcança. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que a aceleração do projétil é
. Para encontrar a velocidade, a gente integra a aceleração em relação ao tempo. Lembra que a integral da aceleração é a velocidade.
Então:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Aqui,
é a constante de integração. A gente sabe que no instante
, a velocidade inicial
. Então:
Então, a equação da velocidade é:
Passo 4
Agora, pra achar a posição
, a gente integra a velocidade:
Onde
é outra constante de integração. Sabemos que no
, a posição inicial
:
Então, a equação da posição fica:
Passo 5
Pra achar a altura máxima, a gente precisa encontrar o tempo em que a velocidade é zero, porque nesse ponto o projétil para de subir antes de começar a descer. Então, vamos resolver
:
Multiplicando tudo por 16 pra eliminar a fração:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o tempo não pode ser negativo, temos:
Passo 6
Agora que sabemos que a altura máxima ocorre aos 16 segundos, vamos substituir esse valor na equação da posi��ão:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
A equação da posição é:
E a altura máxima atingida pelo projétil é de 1462 metros.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais :
Dê exemplo de uma Função não diferenciável que admite todas as derivadas direcionais em (a , b)
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então, calcule a área da região.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.