Um projétil é lançado verticalmente para cima de uma altura de em relação ao solo, com uma velocidade inicial de num local onde a aceleração da gravidade é dada por . Desprezando-se a resistência do ar, a aceleração do projétil é dada por . Determine a equação horária da posição e a altura máxima atingida pelo projétil.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Movimento Vertical com aceleração variável. A gente vai precisar usar um pouco de cálculo, como integração, pra achar a posição do projétil ao longo do tempo e também a altura máxima que ele alcança. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que a aceleração do projétil é . Para encontrar a velocidade, a gente integra a aceleração em relação ao tempo. Lembra que a integral da aceleração é a velocidade.
Então:

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
Aqui, é a constante de integração. A gente sabe que no instante , a velocidade inicial . Então:
Então, a equação da velocidade é:

Passo 4

Agora, pra achar a posição , a gente integra a velocidade:
Onde é outra constante de integração. Sabemos que no , a posição inicial :
Então, a equação da posição fica:

Passo 5

Pra achar a altura máxima, a gente precisa encontrar o tempo em que a velocidade é zero, porque nesse ponto o projétil para de subir antes de começar a descer. Então, vamos resolver :
Multiplicando tudo por 16 pra eliminar a fração:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o tempo não pode ser negativo, temos:

Passo 6

Agora que sabemos que a altura máxima ocorre aos 16 segundos, vamos substituir esse valor na equação da posi��ão:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A equação da posição é:
E a altura máxima atingida pelo projétil é de 1462 metros.

Exercícios relacionados

Calcular as integrais :
Dê exemplo de uma Função não diferenciável que admite todas as derivadas direcionais em (a , b)
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a ou . Então, calcule a área da região.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.