Dê exemplo de uma Função não diferenciável que admite todas as derivadas direcionais em (a , b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “Dê exemplo de uma Função não diferenciável que admite todas as derivadas direcionais em (a, b)”. Ou seja, precisamos encontrar uma função que, no ponto (a, b), não seja diferenciável, mas que tenha todas as suas derivadas direcionais nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas direcionais e diferenciabilidade. A derivada direcional de uma função em uma direção específica mede a taxa de variação da função nessa direção. Já a diferenciabilidade significa que a função pode ser aproximada por um plano linear nesse ponto, ou seja, ela é bem comportada em todas as direções ao redor desse ponto.

Passo 3

Para encontrar uma função que tenha todas as derivadas direcionais, mas que não seja diferenciável, uma boa opção é usar uma função que depende dos módulos das variáveis. Vamos considerar a função:
Essa função está definida para todos os pontos diferentes de . No ponto , vamos definir .

Passo 4

Agora, vamos verificar se todas as derivadas direcionais existem no ponto . Para isso, pegamos uma direção qualquer definida por um vetor com . A derivada direcional de nessa direção é:
Substituindo os valores:
Então, todas as derivadas direcionais no ponto existem e são iguais a zero.

Passo 5

Apesar de todas as derivadas direcionais existirem, vamos mostrar que a função não é diferenciável no ponto . Para isso, verificamos se o limite que define a diferenciabilidade existe:
Onde seria a aproximação linear. Como todas as derivadas direcionais são zero, . Então:
Esse limite depende da trajetória pela qual se aproxima de . Por exemplo, se :
E se :
Como os limites são diferentes dependendo da trajetória, o limite geral não existe. Portanto, a função não é diferenciável no ponto .

Resposta

Um exemplo de função que não é diferenciável em mas possui todas as derivadas direcionais nesse ponto é:

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