Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então, calcule a área da região.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas curvas:
e
. Precisamos esboçar a região delimitada por essas curvas, decidir se vamos integrar em relação a
ou
, e então calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral e análise de gráficos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Portanto, as curvas se intersectam no ponto
.
Passo 3
Vamos decidir se é melhor integrar em relação a
ou
. Olhando as equações:
-
pode ser reescrita como -
pode ser reescrita como
Ambas as equações estão expressas em termos de
como função de
, o que facilita a integração em relação a
. Assim, decidimos integrar com respeito a
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Sabemos que as curvas se intersectam em
. Além disso, observamos que a região de interesse vai desde
até
.
A área
entre as curvas será dada pela integral:
Aqui,
é a expressão para
da primeira curva e
é para a segunda curva. Subtraímos para achar a diferença entre as duas funções de
em cada valor de
.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Um projétil é lançado verticalmente para cima de uma altura de
em relação ao solo, com uma velocidade inicial de
num local onde a aceleração da gravidade é dada por
. Desprezando-se a resistência do ar, a aceleração do projétil é dada por
. Determine a equação horária da posição e a altura máxima atingida pelo projétil.
Calcular as integrais :
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Encontre a função
tal que