Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então, calcule a área da região.
y = raiz(1 - x), y^2 = x + 1

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas curvas: e . Precisamos esboçar a região delimitada por essas curvas, decidir se vamos integrar em relação a ou , e então calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral e análise de gráficos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Portanto, as curvas se intersectam no ponto .

Passo 3

Vamos decidir se é melhor integrar em relação a ou . Olhando as equações:
  • pode ser reescrita como
  • pode ser reescrita como
Ambas as equações estão expressas em termos de como função de , o que facilita a integração em relação a . Assim, decidimos integrar com respeito a .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Sabemos que as curvas se intersectam em . Além disso, observamos que a região de interesse vai desde até .
A área entre as curvas será dada pela integral:
Aqui, é a expressão para da primeira curva e é para a segunda curva. Subtraímos para achar a diferença entre as duas funções de em cada valor de .

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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