Considere a região
delimitada pelas curvas
e
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que surge quando a região
delimitada pelas curvas
e
é girada em torno da reta
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente o método dos discos ou arcos para volumes de rotação. Vamos precisar entender onde as curvas se intersectam e como configurar a integral para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos
a
:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração. Vamos integrar de
até
.
Passo 4
Para calcular o volume da região girada em torno da reta
, vamos usar o método dos aros (ou discos). A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
-
é a distância do ponto mais distante até a reta de rotação. -
é a distância do ponto mais próximo até a reta de rotação.
Primeiro, observamos que
e
dependem das funções
e
. Mas, como estamos girando em torno de uma reta horizontal, é mais conveniente expressar essas funções em termos de
e calcular a distância vertical.
De fato, para cada
, a distância vertical de
até
é
.
No entanto, precisamos adaptar isso para o nosso contexto. Como estamos lidando com a rotação em torno de
, a distância radial será
.
Mas, na verdade, para o método dos aros horizontais, precisamos considerar como as funções
varrem a região em torno da reta de rotação. Aqui, a melhor abordagem é considerar que o volume pode ser calculado pela diferença dos volumes criados pelas duas curvas ao serem rotacionadas.
Passo 5
Vamos reavaliar usando o método dos discos em relação a
. A distância de cada ponto
até a reta
é
.
As funções
e
representam os limites esquerdo e direito da região
, respectivamente. Ao girar em torno de
, cada elemento de área se torna um anel com raio externo
e raio interno
.
A fórmula adaptada fica:
Substituindo
e
:
Simplificando dentro da integral:
Então:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Como a função é par em relação a
para os termos de
e
, e ímpar para os termos de
e
, os termos ímpares se anulam ao avaliar de
a
. Portanto, a expressão simplifica para:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Dica:
e
são raízes de
Dê exemplo de uma Função não diferenciável que admite todas as derivadas direcionais em (a , b)
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