Considere a região delimitada pelas curvas e .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno da reta . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente o método dos discos ou arcos para volumes de rotação. Vamos precisar entender onde as curvas se intersectam e como configurar a integral para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos a :
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração. Vamos integrar de até .

Passo 4

Para calcular o volume da região girada em torno da reta , vamos usar o método dos aros (ou discos). A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é a distância do ponto mais distante até a reta de rotação.
  • é a distância do ponto mais próximo até a reta de rotação.
Primeiro, observamos que e dependem das funções e . Mas, como estamos girando em torno de uma reta horizontal, é mais conveniente expressar essas funções em termos de e calcular a distância vertical.
De fato, para cada , a distância vertical de até é .
No entanto, precisamos adaptar isso para o nosso contexto. Como estamos lidando com a rotação em torno de , a distância radial será .
Mas, na verdade, para o método dos aros horizontais, precisamos considerar como as funções varrem a região em torno da reta de rotação. Aqui, a melhor abordagem é considerar que o volume pode ser calculado pela diferença dos volumes criados pelas duas curvas ao serem rotacionadas.

Passo 5

Vamos reavaliar usando o método dos discos em relação a . A distância de cada ponto até a reta é .
As funções e representam os limites esquerdo e direito da região , respectivamente. Ao girar em torno de , cada elemento de área se torna um anel com raio externo e raio interno .
A fórmula adaptada fica:
Substituindo e :
Simplificando dentro da integral:
Então:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Como a função é par em relação a para os termos de e , e ímpar para os termos de e , os termos ímpares se anulam ao avaliar de a . Portanto, a expressão simplifica para:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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