Calcular as integrais : integral sen^3(4 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de em relação a . Esse exercício envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, especificamente usando identidades trigonométricas e substituição. Para resolver, vamos precisar conhecer as identidades de potência de seno e métodos de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^3(4x) = sin(4x) cdot (1 - cos^2(4x)) . Podemos reescrever como . Agora, utilizamos a identidade trigonométrica , onde :

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin^3(4x) , dx = integral sin(4x) , dx - integral sin(4x) cos^2(4x) , dx
Ou seja, dividimos a integral em duas partes mais simples para resolver separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral sin(4x) , dx
Sabemos que a integral de integral sin(4x) , dx = -14 cos(4x) + C em relação a é . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral sin(4x) cos^2(4x) , dx
Para isso, usamos a substituição. Seja integral sin(4x) cos^2(4x) , dx = -14 integral u^2 , du = -14 cdot u^33 + C = -u^312 + C , então -cos^3(4x)12 + C , ou seja, . Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
integral sin^3(4x) , dx = -14 cos(4x) - cos^3(4x)12 + C
Podemos fatorar integral sin^3(4x) , dx = cos^3(4x) - 3cos(4x)12 + C para simplificar:

Resposta

integral sin^3(4x) , dx = cos^3(4x) - 3cos(4x)12 + C

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