Calcular as integrais : integral sen^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar usando identidades trigonométricas. Sabemos que podemos expressar potências pares de seno em termos de funções de múltiplos de ângulo. A ideia é reduzir para termos que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Vamos começar reconhecendo que pode ser escrito usando a identidade:
Então, pode ser visto como :

Passo 4

Agora, vamos expandir (1 - cos(2x)2)^3:

Passo 5

Precisamos simplificar os termos que ainda contêm funções de cosseno elevadas a potências. Vamos usar mais identidades trigonométricas:
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
e
cos^3(2x) = 3cos(2x) + cos(6x)4

Passo 6

Substituindo essas identidades na expressão original:
Simplificando:
sen^6 x = 18[1 - 3cos(2x) + 3(1 + cos(4x)2) - (3cos(2x) + cos(6x)4)]

Passo 7

Agora, combinamos os termos semelhantes:
= 18(52 - 154cos(2x) + 32cos(4x) - 14cos(6x))

Passo 8

Distribuindo a 18:
= 516 - 1532cos(2x) + 316cos(4x) - 132cos(6x)

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 10

Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral de é:
onde sen^6 x é a constante de integração.

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