Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x 1 cos (pi log 2(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções logarítmicas e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de 1. Sabemos que o logaritmo de 1 em qualquer base é 0, ou seja, .

Passo 3

Agora, substituímos esse resultado na expressão original: . Se tende a 0, então também tende a 0, porque qualquer número multiplicado por 0 é 0.

Passo 4

Agora temos que calcular o limite de de algo que está tendendo a 0. Sabemos que , e que a função cosseno é contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir o valor dentro dela para encontrar o limite.

Passo 5

Portanto, substituindo o que encontramos:
lim x 1 cos (pi log 2(x)) = cos ( pi cdot 0 ) = cos(0) = 1

Resposta

O limite é 1.

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