Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x +infty(1+23 x)^x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de limites, mais especificamente lidando com limites que resultam em expressões exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição do número e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número pode ser definido pelo limite . Esse é um caso clássico que mostra como expressões na forma se comportam quando tende a infinito.

Passo 3

No nosso caso, a expressão é . Para usar a definição do , precisamos manipular essa expressão para que se pareça com .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão da seguinte forma:
(1 + 23x)^x = [(1 + 23x)^3x2]^23
Aqui, estamos elevando a expressão interna a e depois elevando o resultado a . Isso nos ajuda a compará-la com a definição do .

Passo 5

Agora, observamos que:
limx to infty (1 + 23x)^3x2 = e
Isso porque se aproxima de 0 conforme tende ao infinito, e aumenta sem limite, encaixando na definição do .

Passo 6

Portanto, substituindo na nossa expressão reescrita:
lim x +infty(1+23 x)^x = (limx to infty (1 + 23x)^3x2)^23 = e^23

Resposta

O limite é .

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