Calcule a integral iterada: integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral tripla:
integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z , dz , dy , dx
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos integrar uma variável de cada vez, começando por , depois e por fim .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a integral0^1-y x^3 y^2 z , dz :
x^3 y^2 integral0^1-y z , dz
Aqui, e são constantes em relação a , então podemos tirá-los da integral:
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 3

A integral de integral z , dz = z^22 + C em relação a (1 - y)^22 - 0^22 = (1 - y)^22 é:
x^3 y^2 cdot (1 - y)^22 = x^3 y^2 (1 - y)^22
A gente avalia isso de a :
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, a integral fica assim:
integral1^2 integral0^x x^3 y^2 (1 - y)^22 , dy , dx
Vamos simplificar retirando a constante 12 integral1^2 integral0^x x^3 y^2 (1 - y)^2 , dy , dx :
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 5

Para integrar (1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2 em relação a y^2 (1 - 2y + y^2) = y^2 - 2y^3 + y^4 , primeiro expandimos integral0^x (y^2 - 2y^3 + y^4) , dy :
y^33 - 2y^44 + y^55 = y^33 - y^42 + y^55
Então, multiplicando por ( x^33 - x^42 + x^55 ) - 0 = x^33 - x^42 + x^55 :
Agora, a integral em relação a fica:
Integrando termo a termo:
Avaliando de a :

Passo 6

Voltando à integral original, temos agora:
12 integral1^2 x^3 ( x^33 - x^42 + x^55 ) , dx
Multiplicando 12 integral1^2 ( x^63 - x^72 + x^85 ) , dx pelos termos dentro dos parênteses:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando cada termo:
integral x^63 , dx = 13 cdot x^77 = x^721
integral x^72 , dx = 12 cdot x^88 = x^816
integral x^85 , dx = 15 cdot x^99 = x^945
Então, a integral completa fica:
12 [ x^721 - x^816 + x^945 ] gr|1^2

Passo 8

Agora, vamos avaliar de 2^721 - 2^816 + 2^945 = 12821 - 25616 + 51245 = 12821 - 16 + 51245 a 1^721 - 1^816 + 1^945 = 121 - 116 + 145 :
Para ( 12821 - 16 + 51245 ) - ( 121 - 116 + 145 ) = 12721 - 16 + 51145 + 116 :
Para :
Calculando as diferenças:
Vamos converter tudo para frações com denominador comum e simplificar.

Passo 9

Simplificando as frações:
12721 = 6 + 121
51145 = 11 + 1645
116 approx 0,0625
Somando tudo:
6 + 121 - 16 + 11 + 1645 + 0,0625 = 1 + 121 + 1645 + 0,0625
Calculando as frações:
121 approx 0,0476 e 1645 approx 0,3556
Somando:
1 + 0,0476 + 0,3556 + 0,0625 approx 1,4657
Multiplicando pela 12 times 1,4657 approx 0,73285 :

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente 0,73285.

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