Calcule a integral iterada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral tripla:
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos integrar uma variável de cada vez, começando por , depois e por fim .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a :
Aqui, e são constantes em relação a , então podemos tirá-los da integral:
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 3

A integral de em relação a é:
A gente avalia isso de a :
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, a integral fica assim:
Vamos simplificar retirando a constante :
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 5

Para integrar em relação a , primeiro expandimos :
Então, multiplicando por :
Agora, a integral em relação a fica:
Integrando termo a termo:
Avaliando de a :

Passo 6

Voltando à integral original, temos agora:
Multiplicando pelos termos dentro dos parênteses:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 8

Agora, vamos avaliar de a :
Para :
Para :
Calculando as diferenças:
Vamos converter tudo para frações com denominador comum e simplificar.

Passo 9

Simplificando as frações:
Somando tudo:
Calculando as frações:
Somando:
Multiplicando pela :

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente 0,73285.

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