Calcule
de modo a obter
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor de
de modo que as seguintes equações sejam satisfeitas:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas do seno e do cosseno. Para resolver, vamos utilizar a identidade trigonométrica fundamental, que relaciona o seno e o cosseno de um ângulo.
Passo 2
A identidade trigonométrica que vamos usar é:
Essa fórmula é uma igualdade que sempre vale para qualquer ângulo
. Vamos substituir as expressões dadas no exercício nessa identidade.
Passo 3
Substituindo
e
na identidade, temos:
Agora, vamos expandir os quadrados para simplificar a equação.
Passo 4
Calculando os quadrados:
Agora, somamos essas duas expressões e igualamos a 1:
Passo 5
Vamos somar os termos semelhantes:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 6
Agora temos uma equação quadrática na forma:
Vamos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara:
Onde, nesse caso,
,
e
.
Passo 7
Calculando o discriminante (
):
Como
é positivo, teremos duas soluções reais para
.
Passo 8
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Agora, calculamos as duas possibilidades:
Resposta
Os valores de
que satisfazem as equações dadas são:
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, sabendo que
.
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